POLIEDROS REGULARES: CUBO

EL CUBO O HEXAEDRO 

Es el poliedro regular que consta de seis caras, todas ellas cuadrados. Tiene ocho vértices y doce aristas. Como todo poliedro regular cumple la formula de Euler, que dice que: El número de caras más el de vértices es igual al número de aristas más dos. Al unir los vértices opuestos dos a dos se obtienen cuatro diagonales que son iguales y oblicuas entre sí y que se bisecan, es decir, se cortan en el punto medio, que es el centro geométrico del poliedro.

                          

Sección principal

Es la que produce un plano que contiene a dos aristas opuestas. Es por lo tanto un rectángulo con los lados menores iguales a la arista y los mayores a la diagonal de cara. Así, en la figura 1, el polígono ABCE es la sección principal del cubo.

Para hallar gráficamente dicha sección principal partiendo del dato de la arista se dibuja un cuadrado (cara) y se obtiene en él la diagonal de cara “d”, dibujándose a continuación un rectángulo en los que los lados mayores miden la diagonal de cara y los lados menores miden como la arista. En este rectángulo (sección principal) su diagonal, D, coincide con la distancia entre vértices opuestos del cubo. BX es el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo equilátero de lado la diagonal de cara. Figura 2

Representaciones fundamentales

1) Con una cara situada en el horizontal de proyección. Figura3
     

El contorno aparente en proyección horizontal es un cuadrado cuyo lado es igual a la verdadera magnitud de las aristas. Dibujando el cubo en posición arbitraria en proyección horizontal, dibujamos su proyección vertical sabiendo que su altura es igual a la medida de la arista.

https://youtu.be/p50hFKAOlgM

2) Con una diagonal vertical. Figura4
   
El contorno de las aristas en proyección horizontal representa un hexágono regular por cuyo centro pasa la diagonal vertical y  en proyección vertical la altura de D2 es la diagonal del cubo y a un tercio de su medida D/3 tenemos E2, G2 y B2 y a 2D/3 tenemos los vértices F2, C2 y A2.
  

 https://youtu.be/wt_QEmxp2gM

3) Con una arista situada en el horizontal de proyección y en una posición tal que formen    ángulos iguales, con dicho plano de proyección, las dos caras que concurran en la arista de partida. Figura5

La proyección horizontal es  un rectángulo de lados la arista y la diagonal de cara en verdadera magnitud.

En proyección vertical , vemos que las alturas son la diagonal de cara, donde se encuentran los vértices D2 y C2 y la mitad de la diagonal de cara donde se están A2,B2,E2 y F2.

     
https://youtu.be/6VGu4ogHyfY

Ejercicios del cubo

1   1)    Si de un cubo se conoce la diagonal, D.

Se traza un plano perpendicular a dicha diagonal por un punto, O, que diste de uno de sus extremos, D/3, y se sitúa en dicho plano un triángulo equilátero de lado la diagonal, d, de cara. El centro del triángulo coincide con ,O, y los vértices son los del cubo más próximos al extremo de la diagonal antes mencionada. El cubo se cierra por paralelas. 

Ejemplo

AB es la diagonal de un cubo A(-4,5,6) B(0,2,1). La arista AC es horizontal quedando C lo más a la derecha posible. Origen de coordenadas, para colocar los puntos,  a 4cm del borde derecho del papel.

Pasos:

1.Hallo la VM de la diagonal y la divido en tres partes iguales.

2.Tengo que hallar la sección principal que tenga esa diagonal, D, para lo cual hallo una cualquiera y sobre la diagonal de la hallada pongo la medida de ,D, con lo que tengo la sección principal de el cubo del ejercicio.

3. Por 1/3 de la diagonal, D,( en este caso el punto O) dibujo un plano perpendicular a la diagonal. En dicho plano está la sección triangular( triángulo equilátero) del cubo cuyo centro es, O, lados la diagonal de cara, d,( diagonal de las caras del cubo) y vértices los tres más próximos al extremo de la diagonal más cercano a, O.( figura anterior)

4. Hallo el punto, C, de la arista. 

C está en un plano horizontal que contiene a, A, y a su vez está en el plano perpendicular a la diagonal que pasa por 1/3 de ella, el más próximo a, A,. Por tanto, C, está en la recta, r, intersección de ambos planos.(fíjate en el dibujo anterior y el que viene a continuación, donde vemos el plano perpendicular, alfa y el plano horizontal, beta, donde está la arista AC.) 

Una vez hallado el plano perpendicular se abate el punto O y en el abatimiento dibujamos la circunferencia circunscrita al triángulo equilátero mencionado anteriormente. El radio de la circunferencia lo sacamos de la sección principal.

Para hallar el punto C abatido sobre esa circunferencia, abatimos la recta, r, recta intersección entre el plano perpendicular y el plano horizontal. Donde corte esta recta abatida a la circunferencia está el punto, C. Hay dos soluciones pero el enunciado nos dice que tomemos el que queda más a la derecha. ( en el siguiente dibujo se ve el punto C en el abatimiento y sus proyecciones)

5. Una vez hallado, C, sobre la circunferencia puedo hallar los otros dos vértices del triángulo equilátero que se posiciona en ese plano perpendicular I y E. El lado del triángulo es la diagonal de cara, d, que la hallo en la sección principal. Y desabato, los puntos, I y E.

6.Para hallar los otros tres vértices que me quedan lo que tengo que hacer es una vez halladas las proyección de I, E y C ya desabatidas, las uno con,O, y por el  punto,X, que es también 1/3 de la diagonal, D, pero el más cercano al otro extremo de la diagonal, a ,B, hago paralelas a las rectas de unir, I,E y C con O y llevo la medida IO, EO y CO pero en sentido contrario. De esta manera hallo los vértices restantes, H,G y F.

Ejercicio a entregar.

Cubo apoyado en un plano oblicuo conocida una arista de la base(os lo envío al correo) (ejercicio evaluable)