INTRODUCCIÓN
Los poliedros regulares son aquellos en los que sus caras son polígonos regulares. Hay cinco: tetraedro, hexaedro, octoedro, dodecaedro e icosaedro.
Hablaremos de cada uno de ellos viendo sus propiedades para la realización de ejercicios. En cada uno de ellos estudiamos su sección principal en la cual quedan definidos todos los elementos geométricos del poliedro: dimensión de la arista, altura de cara, diagonal de cara, distancia entre aristas opuestas.
EL TETAEDRO
Es el poliedro formado por 4 caras en forma de triángulos equiláteros. Tiene 4 vértices y 6 aristas.Figura1
Sección principal
Es la que produce un plano que corta al tetraedro en dos partes simétricas, es la que pasa por el punto medio de una arista y contiene a la arista opuesta.
En la figura1 tenemos representada la sección principal ABM del tetraedro ABCD. Como puede apreciarse es un triángulo isósceles en el que el lado desigual es la arista y los lados iguales so alturas de cara. AM y BM.
Se puede apreciar como AO es la altura H del poliedro y MN es la distancia entre aristas opuestas. El punto C1 (ortocentro del triángulo ABM), es el centro del poliedro cumpliéndose que C1O es H/4.
Según lo anterior C1O es el radio de la esfera inscrita tangente a las caras . C1A es el radio de la esfera circunscrita que contiene a los vértices y MN es el diámetro de la esfera inscrita, tangente a las aristas.
COMO HALLAR LA SECCIÓN PRINCIPAL
Para hallar la sección principal de un tetraedro partiendo del dato de la arista, figura2 se dibuja un triángulo equilátero de lado la arista y se halla su altura, h (altura de cara), y haciendo centro en A y en B y con radios una magnitud igual a, h, se trazan dos arcos que se cortan en M, siendo el triángulo isósceles ABM así obtenido, la sección principal buscada.
Para hallar la sección principal partiendo de otro dato distinto de la arista, figura3 por ejemplo la altura del poliedro, H´, se halla la sección principal de un tetraedro de arista cualquiera y se mide su altura, H, cuyo valor en general no coincidirá con el H´ deseado. Se lleva H´sobre H y por el otro extremo O´se traza una paralela a BM obteniendo B´M´y siendo AB´M´ la sección principal de un tetraedro de altura H´
Representaciones fundamentales
Tetraedro con una cara en el horizontal. Figura4
En todos los casos he utilizado la misma medida de arista, luego la sección principal es la misma para los tres ejercicios.
Partimos del conocimiento de una arista, nos darán A2-A1 y C2-C1. A partir de esa arista dibujamos el triángulo equilátero contenido en el horizontal. Partiendo de la propia proyección horizontal que se encuentra en verdadera magnitud (por estar contenida en el horizontal de proyección) hallamos la sección principal, como hemos aprendido anteriormente. En la sección principal tendremos la altura del tetraedro, H. La altura se colocará en una perpendicular trazada desde el centro de la cara(centro del triángulo es el baricentro, en este caso como es un triángulo equilátero todos los puntos notables coinciden en el mismo punto) D1, con lo que obtendremos D2 que es el vértice que nos quedaba.
Un tetraedro con una arista en el horizontal y la opuesta una recta horizontal. Figura5
Partimos de la arista A2B2-A1B1 y hemos hallado la sección principal correspondiente a esa arista. En ella se determina la distancia entre aristas opuestas MN que representa la cota de los vértices C2-C1 y D2-D1, cuyas proyecciones horizontales D1 y C1 define una perpendicular a A1 B1.(La proyección horizontal A1B1 está en verdadera magnitud por estar en el horizontal y C1D1 también por ser una recta horizontal)
https://youtu.be/1-2a-GmEv-E
Un tetraedro con una arista vertical. Figura6
Se parte de una arista vertical. Se sabe que la opuesta, C2D2, está en el plano perpendicular a la dada, trazado por su punto medio. La citada arista opuesta tiene por proyección horizontal una cuerda de una circunferencia de radio la altura de cara, h y centro A1=B1. La medida de la cuerda coincide con la de la arista del poliedro.
Ejercicios de tetraedro
1)De un tetraedro se conoce un vértice y el plano de la cara opuesta. Figura7
Se traza una perpendicular al plano por el vértice dado, D. Se halla el punto O de intersección con el mismo, siendo la verdadera magnitud del segmento DO la altura H del tetraedro. Se halla la arista correspondiente a un tetraedro de altura H obtenida anteriormente y se dibuja en el plano dado un triángulo equilátero de centro O y lado la arista obtenida.
2)De un tetraedro se conoce una arista y el dato relativo a la opuesta.
En un tetraedro las aristas opuestas son perpendiculares en el espacio. Luego si tienes una arista la opuesta se encuentra en un plano perpendicular a la dada que pasa por su punto medio. En dicho plano se sitúa una circunferencia de centro M y radio h(altura de cara), en la cual estará la pareja de vértices correspondientes a la arista opuesta( la cuerda que definan tendrá el valor de la arista.
Ejercicio: AB es arista de un tetraedro regular siendo la opuesta horizontal con la mayor cota posible. A(-4,1,2) y B(0,6,5)
Pasos:
1) Hallo M, punto medio de la arista AB.
2) Por M trazo un plano perpendicular a AB.
3) Abato M y dibujo una circunferencia de radio h, altura de cara. La cuerda que cumpla las condiciones mencionadas anteriormente ( que sea una horizontal) y mida la medida de la arista será los vértices que nos faltan CD. Previamente hemos hallado la VM de la arista AB y h.
4)Desabato CD y tendré el tetraedro. Recuerda como hallábamos las partes vistas y ocultas.
Ejercicio
De un tetraedro se conoce una cara situada en el plano beta B(5,7,4) ( te sitúas el origen sobre la línea de tierra y sobre ella situar el punto 5, donde se cortan las trazas del plano, la, y, nos indica el alejamiento del punto del plano horizontal por donde pasa la traza horizontal, lo colocamos sobre el origen, con cota 0. La, z, nos indica el punto sobre el vertical por el que pasa la traza vertical del plano, lo ponemos también sobre el origen y con alejamiento 0.). El centro de la cara es O(0,3, ). Un lado es línea de máxima pendiente del plano cortando su prolongación a la traza B1 en un punto lo más alejado posible del vertical de proyección. Arista 3cm.
Sección cuadrada de un tetraedro.
Sí un tetraedro se secciona pon un plano paralelo a dos aristas opuestas, pasando por el centro del poliedro, se obtiene un cuadrado de lado la mitad de la arista, con sus vértices situados en los puntos medios de las aristas a las que no es paralelo el plano sección.
