INTERSECCIÓN ENTRE FIGURAS PLANAS: DIÉDRICO

Ejercicios de intersección entre figuras planas. Diédrico.

-Se pueden plantear como intersección entre planos, hallamos los planos que contienen a las figuras y hacemos su intersección.

- O podemos elegir que una de las figuras sea plano y la otra descomponerla en rectas y hacer intersección entre recta y plano.

Es importante que veáis el vídeo (está muy bien explicado), salen bastantes veces en selectividad.

Intersección entre dos triángulos-planos-tarjetas.

https://youtu.be/PigZ0BPgqIw

1)    Ambos se apoyan sobre un plano horizontal a2. La traza horizontal sobre ese plano, de uno de ellos, pasa por B1 D1  y la otra por F2 G2. Ambas se cortan en B1 , luego ya tenemos un punto de la recta intersección de ambos planos.

2)    Si pensamos que ABCD se queda como plano, descomponemos EFGH en rectas y hallamos la intersección de la recta que pasa EF con el plano que contienen a ABCD.  Si consideramos la recta contenida en un plano proyectante tenemos los puntos de intersección directos. E1F1 corta al B1D1 en otro punto de la intersección que unido con el anterior nos da la recta intersección. Sólo hay que coger la parte de la recta que pasa por los dos paralelogramos.

3)    Partes vistas y ocultas. Seguid las indicaciones que se explican en el vídeo.

          

Vídeo del ejercicio.    

https://youtu.be/vgU6WOcLKfk

https://www.mongge.com/ejercicios/26716

SISTEMA AXONOMÉTRICO ORTOGONAL

Sistema axonométrico ortogonal.  

Es un sistema de representación que consiste en una proyección cilíndrica ortogonal( rayos proyectantes paralelos y perpendiculares al plano de proyección)  de los elementos a dibujar sobre un plano llamado del cuadro,  que haremos coincidir con el papel.

El sistema axonométrico se diferencia de otros sistemas de proyección paralela en que en éste la referencia se concreta en un triedro trirrectángulo ( 90º forman entre ellos) incidente con el plano del cuadro, de modo que cada eje cartesiano forma un ángulo determinado con dicho plano del cuadro. Figura I.

Los ejes reales, del triedro en el espacio, (x) (y) (z), son proyectados ortogonálmente  sobre el plano del cuadro, dando los ejes x y z . A su vez, la intersección de los planos coordenados (definidos por cada pareja de ejes) con el plano del cuadro nos da el triangulo de trazas c, c,´c´´, cumpliéndose que los lados de dicho triángulo son perpendiculares a las prolongaciones de los ejes proyectados x y z 
(figura 2 y 3)

Dependiendo de los ángulos que forman los ejes reales con el plano del cuadro hay  variedad diferente de axonométrica.

ISOMÉTRICA: Cuando los tres ángulos son iguales. El triángulo de trazas  formado es   
                         equilátero.                                                                  

DIMÉTRICA:    Cuando dos ángulos son iguales y uno desigual. El triángulo de trazas 

                          formado es isósceles.

TRIMÉTRICA:  Cuando los tres ángulos son desiguales. El triángulo de trazas formado es    
                          escaleno.

                            

Vídeo sobre el sistema axonométrico.

https://youtu.be/dvuf48UGVLk

COEFICIENTES DE REDUCCIÓN Y ESCALAS ASOCIADAS

Situamos un segmento unitario en cada uno de los ejes reales, y lo proyectamos obteniendo tres nuevos segmentos, que serán de igual medida en el caso de la isométrica, esto es debido a la igualdad de inclinación de los ejes respecto al plano del cuadro. La magnitud de la proyección de estos segmentos unitarios iguales variará dependiendo del ángulo de inclinación de los ejes reales que los contienen respecto al plano del cuadro. 

A las medidas de estos segmentos proyectados se les denomina coeficientes de reducción, siendo su valor aquel por el que habría que multiplicar cualquier magnitud para obtener la medida proyectada en la axonometría correspondiente.

Obtención gráfica de los coeficientes de reducción en ISOMÉTRICA, DIMÉTRICA Y TRIMÉTRICA.

Para hallar los coeficientes de reducción nos basamos en el abatimiento de los planos coordenados. 

En la figura que se muestra a continuación hemos representado los elementos de una axonometría en el espacio y la proyección de éstos sobre el plano del cuadro, incluidos los segmentos unitarios(más oscuros) que nos darán los coeficientes de reducción. 

Si abatimos el plano (x) (o) (y), sobre el plano del cuadro, en este caso el xy, los ejes quedan en verdadera magnitud existiendo una relación gráfica de afinidad ortogonal entre las figuras situadas en el plano(x)(o)(y), después de su abatimiento, y su proyección axonométrica. (figura 4 y 5)

Si todo lo dicho lo trasladamos a un caso concreto en el que partimos de unos ejes proyectados x y z  y en el que deseamos obtener las reducciones correspondientes a la axonométrica que establecen, trazaremos inicialmente un triángulo de trazas con un plano del cuadro cualquiera.

(Figura 5) El abatimiento del plano (x)(o)(y) implica que el punto (O)abatido se encuentre en el corte de la perpendicular al lado c trazada desde O con una semicircunferencia  cuyo diámetro es el citado lado c del triángulo de trazas. Esta curva representa el arco capaz de noventa grados del segmento c. Uniendo (O) con los puntos dobles de los ejes tenemos los correspondientes abatidos (x) e (y). La unidad de medida situada en estos ejes abatidos determina dos segmentos por cuyos extremos trazamos perpendiculares al lado c, hasta cortar a los ejes proyectados, produciendo los segmentos representativos de las magnitudes reducidas.

Al abatir el plano (x)(o)(y) obtenemos la reducción en los ejes x e y, tendríamos que abatir también el plano (x)(o)(z),o el, (y)(o)(z) para hallar la reducción en el eje z. (Figura 6)

En isométrica sólo haría falta abatir uno de los planos coordenados ya que la reducción será la misma en todos los ejes. El coeficiente en isométrica es 0,816.

Vídeo de como hallar los coeficientes de reducción y triángulo de trazas

https://youtu.be/RF4LdPFLvKw

Hallar la escala isométrica

https://youtu.be/7pHrn7-oCZo

ESCALAS AXONOMÉTRICAS

A menudo se simplifican los coeficientes de reducción dividiéndolos entre la reducción correspondiente al eje X. El resultado es la ESCALA AXONOMÉTRICA, en donde las magnitudes referentes a los tres ejes mantienen sus proporciones pero la reducción no es la correcta en términos absolutos.

• Supongamos que los coeficientes de reducción de una perspectiva trimétrica son Cx=0’9, Cy=0’7 y Cz=0’8 para los ejes X, Y y Z respectivamente. Si aplicamos la reducción correspondiente a cada uno de los ejes el objeto representado estos se reducen de forma diferente en cada una de sus dimensiones.

• Si aplicamos la simplificación mencionada o escala axonométrica según lo dicho (0,9/0,9=1; 0,7/0,9=7/9 y 0,8/0,9=8/9), el dibujo mantiene la proporcionalidad entre las tres dimensiones pero la reducción absoluta no es la correcta. En cualquier caso el manejo de los coeficientes se simplifica pues el correspondiente al eje X es igual a 1 y por tanto, las dimensiones en este eje no varían.

Esta simplificación está aceptada por las normas si bien cambia la denominación de perspectiva axonométrica a dibujo axonométrico cuando ésta se aplica. Cuando se trata de una perspectiva Isométrica, la escala axonométrica o simplificada será 1:1:1 y el dibujo no experimentará ninguna reducción. La perspectiva se denominará en este caso DIBUJO ISOMÉTRICO.

PERSPECTIVA AXONOMÉTRICA ISOMETRICA DE LA CIRCUNFERENCIA.

(libro página 123)

La representación de un circunferencia en isométrica es una elipse pero se admite sustituirla por un ovalo.

Punto, rectas y planos

Figura 8: coeficientes de reducción.

Figura9:Colocación del punto por coordenadas.

Figura10:Posiciones de diferentes puntos. Punto E por debajo del xoy, punto F por   detrás del xoz. C, B y D están en los planos coordenados.

Figura11: Representación de una recta por su proyección directa R, y sus proyecciónes sobre los planos coordenados, r,r´y r´´.

Figura12,13 y14: Trazas de una recta oblicua.

Figura15:Rectas paralelas a los planos de proyección. S paralela al yoz  y R paralela al  xoz.

Figura16: Rectas contenidos en los planos de proyección,L y T.  R, recta perpendicular al xoy, y paralela al eje z.

Figura17:Rectas visuales, perpendiculares al plano del cuadro. Todas las proyecciónes de sus puntos coinciden en un punto.

Figura18:Representación del plano en axonométrica.

Figura19:Recta contenida en un plano.

Figuras 20 y 21: Rectas contenidas en planos. Sus trazas están sobre las trazas del plano.

Figura 22: Horizontal de plano.

Figura23 y 24: Frontales de plano, paralela al plano xoz y paralela al yoz.

Figura25: Plano definido por dos rectas que se cortan.

Figura26 y 27: Diferentes tipos de planos.

Figura28: Plano definido por dos rectas paralelas.

Figura29: Las tres maneras de definir un plano, en el espacio.

Figura 30: Planos perpendiculares a los planos coordenados.

Figura31: Plano visual.

Figua 32: Plano que pasa por un eje.

Punto

https://youtu.be/K8befQo2maM

Recta

https://youtu.be/BieyT45viWQ

Plano

https://youtu.be/evOvupMHulc

Intersección entre recta y plano

REPRESENTACIÓN DE FIGURAS PLANAS.

Cuando se sitúan en los planos coordenados puede ocurrir dos circunstancias. Que los lados de la figura sean paralelos o no a los ejes.

Si fueran paralelos, representamos cada lado o vértice de la figura tomando las medidas reales y transformándolas en las de la perspectiva al afectarlas de la reducción correspondiente al eje al que son paralelas.

En el caso de no existir paralelismo con los ejes y estar posicionada la figura mediante una condición angular determinada, es preciso abatir el plano coordenado que contenga a la figura, y posicionar en dicho abatimiento la figura, para desabatirla a continuación y tener la correspondiente proyección o perspectiva. 

En el caso de la figura    hemos representado un triángulo equilátero con un lado formando treinta grados con el eje X. Se ha abatido el plano XOY y situado en dicho abatimiento las formas a representar en un posición que garantice en valor real el ángulo impuesto por el enunciado. Se desabate por afinidad.

Ejercicios de cuaderno:

-Representación del punto, recta y plano.

-Intersección entre planos.

Ejercicios evaluarles:

-Realización de una pieza en axonométrica trimétrica, en la que hay que hallar los coeficientes de reducción y escalas axonométricas.

-Piezas con circunferencias.

-Representación de un poliedro partiendo de su abatimiento: Perspectiva isométrica.

Representa una pirámide recta de base un hexágono regular, con uno de sus lados formando 30º con el eje, y. Lado 15mm. Altura 50mm.

Asegúrate que en el abatimiento el hexágono queda dentro del plano xoy abatido. Puedes hacerlo en isométrica para simplificar el ejercicio.
Haz un triángulo de trazas con la traza alfa1 de 120mm.

ACOTACIÓN: RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS

 

GIROS Y ÁNGULOS EN EL SISTEMA DIÉDRICO

GIROS 

Ya hemos visto abatimientos y cambios de planos, este sería el tercer método que emplea la geometría descriptiva para facilitar la resolución de algunos problemas, en especial de verdaderas magnitudes.

La diferencia fundamental de los giros con relación a los cambios de planos es que en los giros los que cambian son los elementos que se han de proyectar, y permanecen fijos los planos de proyección.

Consiste en modificar la posición de la figura a representar mediante un giro alrededor de un eje, dicho giro se realiza hasta conseguir una posición de la figura que implique paralelismo de alguno de sus elementos con alguno de los planos de proyección, proyectándose en verdadera magnitud.

La trayectoria descrita por un punto A en su giro alrededor de un eje, e, es circular y situada en un plano perpendicular al eje. El ángulo girado se denomina amplitud de giro.Figura1

Para poder realizar un giro hacen falta los siguientes 3 elementos:

·  Eje de giro: se tratará por lo general de una recta vertical o una recta de punta. Otras posiciones del eje dificultarían el proceso y quizá no sería tan recomendable utilizar esta herramienta.

·  Un punto a girar: girar una recta significa girar 2 puntos. Girar un plano significa girar 3 puntos o un punto y una recta.

·  Un ángulo o una posición final después del giro.

GIRO DE UN PUNTO ALREDEDOR DE UN EJE VERTIVAL. Figura2.

· El eje de giro E es una recta vertical y queda representado en proyección vertical por una recta e2 perpendicular a la Línea de Tierra y en proyección horizontal por un punto e1.

·  En proyección horizontal, el giro queda representado como arco de circunferencia de ángulo ß.

·  En proyección vertical, el giro queda representado como una recta paralela a la Línea de Tierra.

GIRO DE UN PUNTO ALREDEDOR DE UN EJE PERPENDICULAR AL VERTICAL DE PROYECCIÓN.

GIRO DE UNA RECTA 

Para girar una recta el caso genérico es girar 2 puntos de la recta, de manera exactamente igual que al girar un punto. Es importante recordar que el ángulo de giro de ambos puntos debe ser el mismo, lógicamente.

Excepcionalmente hay que girar sólo un punto y esto ocurre cuando la recta y el Eje de Giro se cortan.

GIRO DE UNA RECTA , r,  HASTA TRANSFORMARLA EN FRONTAL.

Para obtener una frontal el eje ha de ser vertical, tomándose éste, siempre que se pueda, de forma que corte a la recta en un punto, B,  puesto que así este punto de intersección del eje con la recta coincide con su girado. Quedaría únicamente realizar el giro de un segundo punto de la recta, A. El ángulo que se precisa girar este punto es tal que la posición obtenida en proyección horizontal, después del giro, resulte con igual alejamiento que el otro punto elegido.

https://youtu.be/G25Yhy2_TBI

GIRO DE UNA RECTA , r, HASTA TRANSFORMARLA EN HORIZONTAL.

Realizando un proceso similar al descrito en el apartado anterior transformaríamos cualquier recta en una horizontal. Ahora el eje es perpendicular la vertical de proyección.

GIRO DE UN RECTA FRONTAL  HASTA TRANSFORMARLA EN UNA VERTICAL.

El eje es una recta perpendicular al vertical o recta de punta.

https://youtu.be/ci6mw1QlPsI

GIRO DE UNA RECTA HORIZONTAL HASTA TRANSFORMARLA EN PERPENDICULAR AL VERTICAL.

El eje es una recta vertical.

GIRO DE UNA RECTA CUALQUIERA ALREDEDOR DE UN EJE QUE NO CORTA A LA RECTA. Figura VIII

Para girar la recta alrededor del eje, e, dado y convertirla, por ejemplo en una frontal, se traza una perpendicular a la proyección horizontal de la recta desde la proyección puntual del eje de giro. El pie de la perpendicular trazada es el punto, A, que se gira hasta una posición tal que una tangente, r1´, al arco de la trayectoria resulte paralela a la línea de tierra, con lo que hemos conseguido posicionar la recta frontalmente respecto al vertical de proyección.

Para hallar la proyección vertical de la recta girada tomaremos como uno de sus puntos definidores el punto obtenido al girar anteriormente, A, cuya proyección vertical una vez girado será A2´, y otro obtenido al girar, el mismo ángulo, un punto cualquiera de la recta B, cuya proyección una vez girado será B2´.

Uniendo ambos puntos obtenemos la proyección vertical de la recta girada.

GIRO DE PLANOS.

GIRO DE UN PLANO EN OTRO QUE NO SEA PROYECTANTE( PÁGINA 90 DEL LIBRO. PUNTO 20.)

TRANSFORMACIÓN DE UN PLANO GENÉRICO EN UN PERPENDICULAR AL VERTICAL DE PROYECCIÓN.

El proceso seguido, consiste en considerar un eje de giro perpendicular al plano de proyección que contenga a la traza que después del giro, adoptará la posición particular correspondiente al plano al que se quiere llegar. En nuestro caso el eje es vertical, debiendo quedar la traza horizontal del nuevo plano, después del giro, perpendicularmente a la línea de tierra.

Se ha girado la traza horizontal siguiendo el mismo proceso que el indicado para el giro de rectas descrito.

Para hallar la traza vertical del plano girado, observamos que el punto de intersección I1-I2 del plano dado con el eje ( intersección entre recta y plano, he contenido al eje en un plano frontal, la recta intersección entre ambos planos es una frontal). pertenece también al plano girado.

Vídeo de cómo se gira un plano oblicuo hasta convertirlo en proyectante.

https://youtu.be/AQRHwUZS0GM

Video de cómo se giran las aristas de un poliedro para hallar su verdadera magnitud.

https://youtu.be/Dn-jMiz1J6M

ÁNGULOS

ÁNGULO FORMADO POR DOS RECTAS.

a) Que se corten en un punto.

Se abate el plano que definen y con él las rectas dadas, estando el ángulo buscado en verdadera magnitud en el citado abatimiento.

En la Figura I, hemos hallado la bisectriz, b, del ángulo. Directamente en el abatimiento hallas la bisectriz del ángulo entre las dos rectas y lo desabates.

b) Que se crucen.

Se traza, por un punto, A, cualquiera de una de las rectas, una paralela, r,  a la otra recta, procediéndose como en el caso anterior, pero con, s y r( paralela a t).  Figura II.

ÁNGULO DE UNA RECTA Y UN PLANO.

ÁNGULO DE UNA RECTA CON LOS PLANOS DE PROYECCIÓN.

Es un caso particular de ángulo de recta y plano.

El ángulo con el horizontal, se obtiene considerando dos puntos A y B de la recta dada y trazando por la proyección horizontal de cada punto una perpendicular a, r, llevándose la cota y obteniendo (A) y (B) que unidos definen, (r.) El ángulo formado por (r) y r, es el que forma la recta con el horizontal.Figura III.

EL ángulo con el vertical. Figura IV.

ÁNGULO DE DOS PLANOS.

Para hallar el ángulo de dos planos que se cortan debes saber que el ángulo que forman dos planos es el mismo ángulo que forman las rectas perpendiculares a dichos planos.

Así que, dados dos planos a2-a1 y b2-b1 bastaría con dibujar una recta r2-r1 perpendicular a, a, pasando por un punto cualquiera A (A2-A1)  y una recta s2-s1 perpendicular a, b, pasando por ese mismo punto A. El ángulo que forman las rectas, r y s, es el mismo que forman los planos a y b.

ÁNGULO DE UN PLANO CUALQUIERA CON LOS PLANOS DE PROYECCIÓN.

a)Con el horizontal. Es el que forma un línea de máxima pendiente con el horizontal. Figura III.

b)Con el vertical. Es el que forma una línea de máxima inclinación con el vertical. Figura IV.

Ejercicios del cuaderno.

-Ángulo de dos rectas oblicuas que se cruzan.
-Ángulo de una recta y un plano.
-Ángulo de dos plano.